Stochastische Modelle: Modellierung

4. Modellierung

Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, stochastische Modelle zu formulieren:

Die naheliegenste Formulierung besteht darin, als Ausgangspunkt ein Modell zu verwenden, in dem die kleinen Störungen als Ursache des Rauschens zunächst nicht berücksichtigt sind. Dieses Modell erweitert man, indem man in sehr idealisierter Weise die Störungen berücksichtigt. Da es in der Regel bei den Störungen nicht auf Details ankommt, können diese Erweiterungen unter Umständen eine sehr einfache Struktur haben. Diese Modelle enthalten dann eine große Zahl von Freiheitsgraden, die die Störungen modellieren und die eigentlich nicht von Interesse sind.
Da die Störungen ohnehin nicht explizit bekannt sind, kann man ihren Einfluß in der Summe als einen Zufallsvariable beschreiben. Betrachtet man speziell zeitabhängige, also dynamische Systeme, dann wird diese Zufallsvariable ebenfalls zeitabhängig sein. Die wesentlichen Fragen für die Modellierung sind, welche statistischen Eigenschaften (Mittelwert, Korrelationen, Verteilungsfunktion, etc) die Zufallsvariable hat und an welcher Stelle sie im Modell auftaucht.
Beschreibt man ein System durch ein Modell, in dem eine Zufallsvariable auftaucht, dann werden automatisch alle abgeleiteten Größen des Modells auch einen mehr oder weniger zufälligen Charakter haben. Von diesem Größen wird man also auch wieder die statistischen Eigenschaften berechnen können. In den meisten Fällen kann man aus dem Modell, in dem die Zufallsvariablen direkt auftreten, ein äquivalentes konstruieren, daß Aussagen über bestimmte statistische Größen liefert.
Schließlich kann man in bestimmten Grenzfällen effektive Modelle konstruieren, die direkt effektive (statistische) Variable enthalten.

Die erste Möglichkeit spielt für praktische Fälle eine untergeordnete Rolle. Sie findet nur dann Anwendungen, wenn keine der anderen Modellierungen möglich ist. Die anderen Fälle sind praktisch relevant und werden im Folgenden diskutiert.

4.1 Stochastische Modellgleichungen

Stochastische Modellgleichungen sind von der Form den Modellgleichungen ohne Rauschen sehr ähnlich, enthalten aber einen oder mehrere Beiträge, in denen Zufallsgrößen vorkommen.

Beschreibt man mit dem Modell statische Größen, dann wird es sich bei den Modellgleichungen um statische Beziehungen handeln. Typische Fälle sind einfache, lineare Probleme oder komplizierte, nichtlineare Optimierungen. Diese Gleichungen werden in der Regel numerisch, also mit dem Computer gelöst. Das ist auch für den stochastischen Fall möglich. In der Regel wird man die Zufallsvariablen mit Hilfe eines geeigneten Zufallszahlengenerators erzeugen. Für jeden erzeugten Satz von Zufallsvariablen werden die Modellgleichungen gelöst. Die Lösungen selbst hängen natürlich von den gezogenen Zufallsvariablen ab. Hat man für hinreichend viele Sätze von Zufallsvariablen die Gleichungen gelöst, dann kann man die verschiedenen Lösungen mit gängigen statistischen Verfahren auswerten. Man erhält so für die Lösungen Mittelwerte, Varianzen, und je nach Bedarf Näherungen für Verteilungsfunktionen (Histogramme) oder höhere Momente.

Für dynamische Probleme ist das Vorgehen im Prinzip ähnlich, es sind allerdings einige zusätzliche Bedingungen zu beachten. Zunächst unterscheiden sich auch in diesem Fall die Modellgleichungen nur dadurch von dem Fall ohne Rauschen, daß zusätzliche Terme auftreten, die Zufallsvariablen enthalten. Auch hier kann man die Zufallsvariablen im Prinzip mit einem Zufallszahlengenerator erzeugen. Das Problem ist aber, daß die Zufallsvariablen zeitabhängig sind, man also im Prinzip für jedem Zeitpunkt eine neue Zufallszahl erzeugen müsste. Das ist natürlich nur möglich, wenn man sich auf diskrete Zeitschritte beschränkt.

Im Prinzip bedeutet die Beschränkung auf diskrete Zeitschritte zunächst keine wesentliche Einschränkung. Numerische Lösungsverfahren für dynamische Probleme arbeiten in der Regel immer mit diskreten Zeitschritten. Trotzdem sind vier Punkte zu beachten:

Wenn die Zufallsgröße zu diskreten Zeiten mit einem Zufallszahlengenerator bestimmt wird, der (im wesentlichen) unkorrelierte Zufallszahlen liefert, dann bestimmt der Zeitabstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten die Korrelationszeit der Zufallsgröße. Ist die Zufallsgröße zeitlich unkorreliert, dann muß dieser Zeitabstand klein verglichen mit allen anderen typischen Zeitskalen des Systems gewählt werden. Sonst kann es durch die Korrelationen zu unerwünschten Nebeneffekten kommen. Ist die Zufallsgröße dagegen zeitlich korreliert, dann wird man die Zeitschritte in der Regel kleiner als die Korrelationszeit wählen und entsprechend korrelierte Zufallszahlen erzeugen. Die genaue Vorgehensweise hängt dann von der Art der Korrelationen ab.
Es gibt unterschiedliche Typen von Algorithmen zum Lösen dynamischer Probleme. Einige arbeiten mit einer festen Diskretisierung. Dann bleibt der Zeitabstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten fest. Andere arbeiten mit variabler Diskretisierung. Dann wird der Zeitabstand während der Lösung immer an das Verhalten der dynamischen Größen angepasst. Für nicht stochastische Modelle sind diese Verfahren häufig sehr effizient. Simuliert man ein Modell mit stochastischen dynamischen Größen, kann es bei diesen Verfahren aber zu Problemen kommen. Zum einen kann es passieren, daß die automatisch bestimmte Schrittweite zu klein wird, dann ist das Verfahren ineffizient. Zum anderen kann es vorkommen, daß die variable Schrittweite zu variablen, zeitlichen Korrelationen führt, die unerwünscht sind.
Da man Zeitreihen von Zufallszahlen benötigt, ist es wichtig, einen guten Zufallszahlengenerator auszuwählen, der möglichst wenig Korrelationen hat. Zudem benötigt man sehr viele Zufallszahlen für eine gute Statistik, auch deshalb ist die Qualität des Zufallszahlengenerators wichtig.
In der Regel muß man, um eine gute Statistik zu erzielen, das Modell mit vielen Realisierungen der Zufallsgröße lösen. Für dynamsiche Probleme kann es genügen, das Modell mit einer Realisierung lange zu simulieren. Das wäre der Fall, wenn zeitliche Mittelwerte oder Korrelationen mit Mittelwerten oder Korrelationen über verschiedene Realisierungen übereinstimmen. Dieser Punkt ist in vielen Fällen aus den Modellgleichungen selbst abzuleiten, ohne eine Simulation durchführen zu müssen.

4.2 Modelle für statistische Größen

In einigen Fällen lassen sich aus den stochastischen Modellgleichungen direkt Gleichungen für statistische Größen (Mittelwerte, Momente von Verteilungen, Verteilungsfunktionen, etc.) ableiten. Je nachdem, wie kompliziert die Fragestellung ist, benötigt man kompliziertere Größen und damit auch kompliziertere Modelle. Diese Modelle enthalten keine stochastischen Variablen mehr, aber stattdessen Informationen über die statistischen Eigenschaften dieser Variablen. Zudem sind sie meist komplexer. Für ein dynamisches Problem, daß durch eine einzige Koordinate beschrieben werden kann (z.B. eine Reaktionskoordinate in einer chemischen Reaktion) wird aus einer gewöhnlichen stochastischen Differentialgleichungen im Rahmen des stochastischen Modells eine partielle Differentialgleichung für die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Für diese Gleichungen stehen dann neue numerische Verfahren zur Lösung zur Verfügung. Speziell wenn man genaue Resultate braucht, ist der numerische Aufwand für diese komplizierteren Modelle geringer als der Aufwand für die vielfache Lösung der einfacheren stochastischen Gleichungen.

4.3 Effektive Modelle

Ob es möglich ist, effektive Modelle für ein Problem aufzustellen, das stochastische Größen enthält, hängt von der konkreten Problemstellung ab und kann nur im Einzelfall beantwortet werden. Wenn sich solche Modelle herleiten lassen, dann ist es in der Regel sehr viel weniger aufwendig, diese Modelle zu lösen, als eines der beiden vorangegangenen Verfahren anzuwenden.